1 százalék - racionálisan!

Fontosnak tartod a kritikus gondolkodást? A csalókkal, sarlatánokkal szembeni fellépést?

Adód 1%-nak felajánlásával

támogathatod a Szkeptikus Társaság munkáját.

Adószám: 18125926-2-41

Írj nekünk! Kövess minket!

Kövess a Twitter-en 

Melléfogott az asztrológusod? Nem találsz már helyet az ágyadnak a földsugárzástól? Össze-vissza forog az Egely- kereked? Nem használt a macskádnak a homeopátiás bogyó?

Írd meg nekünk:
blog (kukac) szkeptikus.hu

Utolsó kommentek

Címkék

akupunktúra (1) álhírek (1) alternatív medicina (22) áltudomány (36) apollo (1) aromaterápia (1) ásványok (1) asztaltáncoltatás (1) asztrológia (6) attila domb (1) átverés (14) aura (2) béky lászló (3) bioenergetika (5) biofoton (1) biológia (1) bioptron (2) biorezonancia (5) biotechnológia (7) boszniai piramisok (3) bulvár (1) butaság (7) bűvészet (9) callahan (1) cam (1) chemtrail (3) clairvoyance (1) cod tea (5) confirmation bias (1) criss angel (1) csalás (4) csillagászat (6) cunami (1) darwin (5) demarkáció (1) diéták (1) douglas adams (1) echo tv (1) ECSO (1) egely (2) egészség (34) egészségnap (2) éghajlat (1) einstein (3) elektroszmog (1) életmód (4) eric pearl (1) értem (3) érvelés (1) etnográfia (1) étrend kiegészítő (6) eugenika (1) evolúció (21) ezóbióökó (7) ezotéria (27) fakír (1) fekete mágia (2) felmelegedés (2) filozófia (11) finnugor (1) fizika (12) fogyasztóvédelem (12) földönkívüliek (2) földsugárzás (3) gender (1) gondolkodás (6) grafológia (1) grapefruit (1) gyermeknevelés (1) gyógynövények (2) gyógyszerek (1) gyógyszeripar (1) HAARP (1) hagyományos kínai orvoslás (2) hamisítás (3) hétköznapi bölcsesség (1) hipotézis (1) hold (2) holokauszt (1) homeopátia (22) horoszkop (3) humor (7) idegtudomány (1) ideomotoros (1) idősek (1) india (1) influenza (1) ingyenenergia (4) integratív medicina (2) intelligens tervezés (12) james randi (3) japán (1) jeti (1) jövőbelátás (1) jövőbelátók egyháza (1) jövőbe látás (2) józan ész (4) kanálhajlítás (2) kapcsolatteremtő gyógyítás (1) kígyóolaj (1) kísérlet (3) kiválasztott (4) klímaváltozás (6) klub (78) konferencia (9) kongresszus (10) könyv (12) koplalás (1) közgazdaságtan (1) kozmológia (2) kreacionizmus (2) kristályok (1) kritika (1) lászló ervin (2) lebuktatás (1) légköroptika (1) lenkei gábor (1) levitt (1) lifewave (2) lottó (1) lúgosítás (1) mágia (1) mágnes (5) magyar őstörténet (4) magyar történelem (3) marketing (3) mars (3) matematika (3) média (6) megerősítési torzítás (5) mellrák (1) mentalizmus (3) mesterséges intelligencia (1) meteor (1) mobiltelefon (1) mta (4) művészet (1) nasa (2) nyelv (6) nyílt levél (1) oktatás (4) oltásellenesség (3) oltások (2) önámítás (1) online kísérlet (3) orgon (1) örökmozgó (5) orvostudomány (11) őssejtfokozó (1) összeesküvés elmélet (5) otthonszülés (1) paleolit étrend (1) pálmalevél (1) pályázat (1) parafenomén (3) parajelenségek (6) paródia (1) phenomenon (2) podcast (1) pozitív gondolkodás (1) prána (2) proving (1) pszí (5) pszichiátria (1) racionalitás (1) radiesztézia (3) rák (8) randi (3) rendezvény (13) rezsicsökkentő (1) richard dawkins (2) sci fi (2) seti (1) spiritizmus (2) steorn (1) sugárzás (3) számmisztika (3) székesfehérvár (2) szekta (1) szellemidézés (3) szerencse (1) sziget (5) szkeptikus (19) szólásszabadság (1) találmány (4) tantra (1) táplálkozás (5) távgyógyítás (2) technológia (12) telekinézis (1) telepátia (1) televízió (5) teremtés (3) teremtéstan (2) természetgyógyászat (28) termográfia (1) tesztek (3) történelem (14) tudomány (27) tudományos módszer (2) tudománytörténet (1) turizmus (1) ufo (5) űrhajózás (1) uri geller (8) űrszonda (2) vágó (6) vakcinák (2) vallás (2) villanyóralassító (1) vita (1) vízautó (2) Wikipédia (3) x akták (1) Címkefelhő

Creative Commons

Creative Commons Licenc

2010.09.27. 07:27 mandras

Örökmozgó a matematikában: hamis a Cantor-tétel?

A matematikát és a logikát manapság kevésbé szerencséltetik a hóbortos világmegváltók és csodadoktorok, mint amennyire divatos dolog rákgyógyszereket, fogyasztó csodaszereket, vagy első- és másodfajú örökmozgókat előállítani, esetleg felfedezni nyelvünk és népünk sumer vagy sziriuszi gyökereit. A körnégyszögesítők ideje lejárt, a nagy Fermat-sejtés is bizonyítást nyert, bár az iránta való érdeklődés már jóval előbb lecsengett, a Wolfskehl-díj értékvesztése nyomán. Velem született rosszmájúságom azt súgja, hogy ilyen tényezőknek lehet nagy súlya a jelenségben: egy matematikai csodaeredménytől manapság nem lehet se meggazdagodni, se celebbé válni. Van azonban egy apró kis tétel, ami rendszeresen izgatja arravaló emberek fantáziáját; az illetők se haszonlesőnek, se teljesen dilettánsnak nem mondhatók, de szeretnének valami nagyot dobni, és valamit nem értenek. A tételt Cantor-tételként szokás emlegetni, és annyit mond, hogy nincs kölcsönösen egyértelmű leképezés egy H halmaz és hatványhalmaza, azaz összes részhalmazainak halmaza (pot(H)) között.

Nézzünk először egy rövid kis bizonyítást erre az állításra.

1. Legyen f tetszőleges, H-n értelmezett és pot(H)-ba képező függvény.

2. Tekintsük a következő, Hf halmazt: {xH: xf(x)}, azaz H azon elemeinek halmazát, amelyek nem elemei a saját f szerinti képüknek.

3. Ha H valamely y elemére f(y) = Hf, akkor két lehetőség van:

a. yHf , tehát y eleme saját f szerinti képének. De Hf H-nak azokat és csak azokat az elemeit tartalmazza, amelyek nem elemei saját f szerinti képüknek. Tehát yHf.

b. yHf, azaz y nem eleme a saját f szerinti képének. Ebben az esetben y H-nak olyan eleme, amely nem eleme saját f szerinti képének, tehát Hf definíciója szerint yHf.

4. Mivel 3a. is, 3b. is ellentmondásra vezet, nem lehet olyan y, hogy f(y) = Hf, ezért f nem lehet kölcsönösen egyértelmű (közelebbről: nem lehet ráképezés).

Georg Cantor, a halmazelmélet megalapítója számos, ennél jóval mélyebb és bonyolultabb tétellel gazdagította a matematikát; annak, hogy éppen ez a kis állítás viseli az ő nevét, a jelentősége az oka. Ezen múlik, hogy minden halmaznál van „nagyobb”, a halmazok Cantor által pontosan definiált nagyság szerinti rendezése értelmében. Hiszen a hatványhalmaznak része egy olyan halmaz, amelyik triviálisan ugyanakkora, mint az eredeti H halmaz: H egyelemű részeinek halmaza. Miután az egész pot(H) „ugyanakkora” nem lehet, mint H (a kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés értelmében; éppen ezt bizonyítja a Cantor-tétel), marad az, hogy nagyobb. Ezen a szemléletes okfejtésen ugyan jókora lyukak tátonganak, de azok betömhetők és a lényeget mégis jól mutatja.

Annak, hogy a világmegváltói lelkesedés pont a Cantor-tételt pécézi ki folyton, a jelentőségén túl van még egy oka, és ez a Russell-paradoxon levezetése, ami a mi 3. lépésünkhöz döbbenetesen hasonló okfejtéssel, de minden (látható) indirekt feltevés nélkül mutat ki ellentmondást Cantor eredeti (ma úgy mondjuk: naiv) halmazelméletében. Teszi ezt a következőképpen:

2'. Legyen R az a halmaz, amelynek pontosan azok a halmazok az elemei, amelyek nem elemei saját maguknak. Formálisan: R = {h: hh}.

3'. Eleme-e R saját magának? Két lehetőség van: vagy igen, vagy nem.

a. Ha RR, akkor R olyan halmaz, amely eleme saját magának, márpedig R-nek csak azok a halmazok elemei, amelyek nem elemei saját maguknak, tehát RR.

b. Ha RR, akkor R olyan halmaz, amely nem eleme saját magának, de R-nek minden ilyen halmaz eleme, tehát RR.

4'. 3'a is, 3'b is ellentmondás.

Hol a hiba?

Oktatóként magam is tapasztalom, hogy az indirekt érvelések alkalmazása körül még viszonylag magas kulturális és intelligenciaszinten is sok a pszichológiai zavar. Ennek következménye lehet, hogy némelyek a 2-3., illetve 2’-3’. típusú okfejtések egészét hibásnak tartják. Ha tényleg az lenne, az persze cáfolná a Cantor-tételt, de egyúttal a matematika nagy részét is. A Cantor-tétel-cáfolók felszínen sokféle, de alapjában egy rugóra járó okoskodásait szépen mutatja be Wilfrid Hodgesnek, a Journal of Symbolic Logic egykori szerkesztőjének cikke, melyet visszavonulása alkalmából publikált; ő persze bőséges tapasztalati anyagot gyűjtött össze munkája során. De nemrégiben nekem is meggyűlt a bajom egy ilyen esettel. Erről lesz az alábbiakban szó, de előbb hadd lőjem le a poént az előbbi példákban. Természetesen nem a logikai sémával van baj, hanem a 2, ill. 2’. lépést kell megnéznünk kicsit közelebbről.

Honnan vesszük, hogy létezik a Hf, illetve R halmaz? Onnan, hogy a naiv halmazelmélet korlátlanul és hallgatólagosan elfogadta a komprehenzió elvét: azt, hogy tetszőleges tulajdonsággal lehet halmazt definiálni. A naiv halmazelmélet egy történetileg nagyon fontos változatában, Gottlob Frege halmazelméletet is magába olvasztó logikájában a komprehenzió elve tulajdonképpen nem is volt hallgatólagos; amikor Frege megkapta Bertrand Russell levelét, amelyben kimutatta, hogy a fregei logikában formálisan le lehet vezetni a Russell-paradoxont, egy percig nem habozott elismerni, hogy elméletébe be van építve előfeltevésként a komprehenzió elve, és az sem volt számára kétséges, hogy ez okozta a bajt. De maga Cantor is hasonlóan járt el, amikor pár évvel korábban szembesült egy különböző, bár nagyon rokon paradoxonnal: arra a megállapításra jutott, hogy nem minden sokaság alkot halmazt, például az összes halmaz sokasága sem. Valamiféle komprehenzió nélkül természetesen nincsen halmazelmélet, de a kiút a komprehenzió elvének leszűkítésén át vezetett. Ernst Zermelo a halmazelmélet első axiomatizálásában a részhalmaz- vagy szeparációs axiómát vezette be, amely azt mondja ki, hogy egy adott halmazon belül tetszőleges tulajdonság segítségével el lehet különíteni halmazunk azon részhalmazát, amely az illető tulajdonsággal rendelkező elemekből áll. Ez pontosan elég a 2. lépés megtételéhez, hiszen azt eleve feltételeztük, hogy H egy halmaz, Hf-et pedig ebből szeparáltuk el egy jól megválasztott tulajdonság segítségével. 2’. esetében viszont az összes halmaz közül akartuk elkülöníteni az önmagukat elemként nem tartalmazókat. Ez csak akkor volna megengedett, ha az összes halmaz együtt egy halmazt alkotna. Végeredményben az utóbbi, implicit feltételezés következménye az ellentmondás, és így a Russell-paradoxon átmegy annak az állításnak az indirekt bizonyításába, hogy az összes halmaz nem alkot halmazt.

Meg kell jegyeznünk ehhez még két dolgot. Először is, a mai standard halmazelméletben már nem a Zermelo-féle szeparációs axiómát használják, hanem a Fraenkel-féle helyettesítési axiómát, amely jóval erősebb állítás, de még mindig leszűkítése a naiv komprehenziós elvnek. Ezért hívják a standard elméletet Zermelo-Fraenkel-féle halmazelméletnek. Másodszor, nem a fenti az egyetlen módja annak, hogy megszabaduljunk a Russell-paradoxontól. Okoskodásunk informális leírása egy levezetésnek, amely logikailag zárt ugyan, de függ bizonyos, a formális elemzés során napvilágra jutó előfeltevésektől. Lehet úgy is axiomatikus halmazelméletet konstruálni, hogy másképpen gyengítjük a naiv halmazelmélet előfeltevéseit, és így megengedhetjük akár az univerzális halmaz (az összes halmazok halmaza) létezését is; az ellentmondásosság kockázata az ilyen, nem-standard halmazelméletekben nem nagyobb, mint a Zermelo-Fraenkelben.

Most már térjünk vissza a konkrét ügyhöz. Egy konferenciára beadott valaki egy Cantor-tételt cáfoló előadást. Az absztraktból csak annyi derült ki, hogy a cáfolatot akarja elővezetni, de egy érdekes összefüggésben. Nem buta és nem felkészületlen emberről lévén szó, elfogadtuk – úgy gondoltuk, ha nincs is igaza, de talán érdekesen mondja. Az előadás viszont a Hodges-féle példatár gyengébb darabjaira emlékeztetett, így a kiadványban semmiképpen nem akartuk közölni. Az elutasításból immár több hónapos perpatvar lett, és én már csak elhűlve figyelem, hogyan pereg le minden érv egy különben – ismétlem – jól képzett emberről, amikor kedvenc vesszőparipáját próbálják kirángatni alóla. Az alábbiakban a levelezést nem ismertetem részletekben, csak beküldött, publikációra szánt írását elemzem – majd előáll itt is az ellenérveim cáfolatával, ha akar. De azt azért elmondanám, hogy a csodadoktorokra jellemző „tudásszociológiai” érvrendszer itt is előkerült: a „hivatalos tudományt” vádoló összeesküvéselmélet, személyes (oktatói, megélhetési) érdekeltségünk a megszokottban, aminek folytán nem bírjuk elismerni az újat, emellett egyéb személyeskedés, gyanúsítgatás, inszinuáció – nem értem, miért.

G. J. úr az elutasított cikkben először is előadja a Cantor-tétel „szokásos”, általa hibásnak vélt bizonyítását. Előadása nem sokban különbözik a fentiektől, mint ahogy tételünknek egyszerűsége folytán nincsenek is lényegesen különböző bizonyításai. Ugyanazt lehet más sorrendben, vagy esetleg fölösleges lépések közbeiktatásával előadni. Nézzük azért végig.

1". csak annyiban különbözik 1.-től, hogy indirekte eleve felteszi f kölcsönösen egyértelmű voltát (bijektivitását).

2". ugyancsak a Hf definíciója, de ezt megcsillagozza.

3". annyiban módosul, hogy f bijektivitása miatt kell, hogy legyen Hf-nek egy és csak egy f szerinti ősképe; ez, a fentiekkel teljesen megegyezően eleme is, meg nem is Hf-nek, ami ellentmondás.

A bizonyítás cáfolatát egy segédtételre alapozza, amelyet diagonalizációs tételnek nevez. Ez lényegében a következőt mondja: Tekintsünk egy R relációt egy U halmaz elemei között. Akármilyen is R, nem lesz olyan u eleme U-nak, hogy minden v-re igaz legyen: v vagy u-val, vagy önmagával az R relációban áll, de nem mind a kettővel. Ez persze igaz, hiszen ha v-t éppen u-nak választjuk, a követelményből arra jutunk, hogy a „v R-ben áll önmagával”, és az „v R-ben áll önmagával” állítások közül egy és csak egy igaz.

4". Válasszuk U-t pot(H)-nak, R-nek meg azt a relációt, amely H két részhalmaza között akkor áll, ha az elsőnek az f szerinti ősképe eleme a másodiknak.

5". Tekintsük pot(H) egy tetszőleges G elemét. f bijektivitása miatt G-nek van egy és csak egy f szerinti ősképe, legyen ez x (tehát f(x) = G).

6". A diagonalizációs tétel most ezt állítja: nincs olyan Hf eleme pot(H)-nak, hogy minden G-re vagy xHf, vagy xG(=f(x)), de csak az egyik. De épp ez volna a 2”-ben szereplő Hf definíciója, tehát Hf nem létezik.

G. J. szerint a „szokásos” bizonyítás azért hibás, mert Hf nemlétezése miatt a 3" lépés értelmetlen: nemlétezőről beszél, márpedig a nemlétezőkről szóló mondatok se nem igazak, se nem hamisak. A csillag azt jelzi, hogy innen nem volna szabad folytatni a bizonyítást.

A válasz nyilvánvalóan az, hogy ha G. J. gondolatmenetét akarjuk követni, nem is kell folytatnunk. 2"-ben Hf létezése az indirekt feltevésből (bijektív f függvény létezéséből) plusz (a naiv halmazelméletben) a komprehenzió elvéből következik; 2"-höz tehát helyesen tehetjük hozzá: „és ez a Hf létezik”. Ha valakinek ehhez van kedve, folytathatja a bizonyítást 3" helyett a 4", 5", 6" úton is, majd megállapíthatja:

7". 2" és 6" között ellentmondás van, tehát az indirekt feltevés hamis.

Tehát G. J. gondolatmenete nemhogy megcáfolná a Cantor-tételt, hanem egy más (valójában csak egy kicsit átrendezett és megbonyolított) bizonyítást ad rá.

Külön érdekesség, hogy G. J. elismeri: a „szokásos”, elemi tankönyvi (lényegében a naiv halmazelméletben mozgó) bizonyítással szemben (?) a Cantor-tétel Zermelo-Fraenkel-axiómarendszerben való bizonyítása helyes, mert ott a szeparációs axiómából következik Hf létezése, ezért ott befejezhetjük indirekt úton a bizonyítást. Itt már tényleg megáll az ész és nem tudom felfogni, hogyan juthatott tévútra a kolléga esze. Ha egyszer a komprehenzió elvének gyengített változatát kimondó Zermelo-féle axiómából következik Hf létezése, hogyne következne a naiv komprehenziós elvből? (Tekintsünk most el attól – ezt jó okkal megtehetjük –, hogy a naiv komprehenziós elvből bármi következik, mert ellentmondás következik belőle.)

Az eset arra mutat példát – ezért is érdemes szkeptikusként foglalkozni vele –, hogyan lesz egy szakmai tévedésből áltudomány. Cáfolatát adni egy nevezetes tétel bizonyításának egyáltalán nem rossz dolog; ha a cáfolat megállja a helyét, az szakmai szenzáció. Ilyet közölni minden szerkesztőnek érdekében áll, nemhogy sértené az érdekeit. Ha téves – istenem, megesik, vissza kell dobni. Az áltudomány éppen ott kezdődik valahol, amikor egy ilyen tévedésből megrögzött és minden cáfolattal szemben rezisztens mánia lesz.

68 komment

Címkék: matematika


A bejegyzés trackback címe:

https://szkeptikus.blog.hu/api/trackback/id/tr502268077

Kommentek:

A hozzászólások a vonatkozó jogszabályok  értelmében felhasználói tartalomnak minősülnek, értük a szolgáltatás technikai  üzemeltetője semmilyen felelősséget nem vállal, azokat nem ellenőrzi. Kifogás esetén forduljon a blog szerkesztőjéhez. Részletek a  Felhasználási feltételekben és az adatvédelmi tájékoztatóban.

meko 2010.09.27. 13:56:13

A bejegyzés tapintatosan védi a bírált szerző anonimitását. Ez ugyan tiszteletre méltó, de én mégiscsak hivatkoznék az eredeti gondolatmenetre, hallgattassék meg a másik fél is: tinyurl.com/35k6pgm.

neofin 2010.09.27. 14:37:28

Hát igen, fel kell készülni arra, hogy már egy 6 éves is megkérdezheti töllünk, vajon a végtelen az páros vagy páratlan? :-)

opinionator.blogs.nytimes.com/2010/05/09/the-hilbert-hotel/

magyarul és talán érthetőbben, hogy miért is fontos ez a probléma?
pl. Ha a Hilbert féle szállodában kell dolgoznunk :-)
hu.wikipedia.org/wiki/Hilbert_Grand_Hotel-paradoxonja

Tom Benko 2010.09.27. 15:40:11

@neofin: Miután a végtelen nem szám, hanem tulajdonság, nem sok értelme van a paritásáról beszélni.

neofin 2010.09.27. 15:46:47

Ha már "Örökmozgó a matematikában" .. a címe

Hawking 1 hónappal ezelőtti kijelentése egy matematikusnak mit jelent?

"az univerzum képes arra, hogy a semmiből létrehozza önmagát. A spontán teremtés az oka, hogy a semmi helyett van valami, hogy létezik a világegyetem, hogy létezünk mi magunk. "

bioLarzen 2010.09.27. 22:19:08

Neofin bajtárs,
a cikk témájához esetleg van hozzáfűznivalód?

bio

Amaranta 2010.09.27. 23:31:12

Kedves Mandras!
Ezt írod a bejegyzésben: "Az előadás viszont a Hodges-féle példatár gyengébb darabjaira emlékeztetett, így a kiadványban semmiképpen nem akartuk közölni. "
Elolvastam a linkelt Hodges cikket, valamint az általad bírált cikket is a szerző honlapján.
Nem világos azonban számomra, hogy a Hodges cikk mely darabjaira gondolsz, amire téged a szerző gondolatmenete emlékeztet.
Mely részekre célzol a Hodges cikkben?

meko 2010.09.28. 09:53:07

@Tom Benko: Miért ne lehetne szám is? Cantor éppen azon fáradozott, hogy lehetővé tegye a végtelen mennyiségekkel való számolást. A "végtelen per kettő" értelmezhető (lásd pl. en.wikipedia.org/wiki/Cardinal_number#Division csak meg kell mondani, melyik végtelenre gondolunk. Merthogy több is van belőlük, ezt is Cantortól tudjuk.

tetra · http://unsigned.freeblog.hu/ 2010.09.28. 11:26:10

A hatévesnek hogy magyarázod el, hogy definiálja a végtelent? És ha definiálja (mondjuk legyen "mindennél nagyobb"), akkor mondhatod rá, hogy az nem szám, és kész.
Amúgy mindennel lehet számolni, csak add meg hozzá a számolási szabályokat, a + * jelek csak infix függvényszimbólumok, azt jelent, amit megmondasz neki hogy jelentsen.

szemet 2010.09.28. 11:38:22

@meko: És ott vannak még a szürreális számok is. Szóval a számfogalom kiterjesztésével a végtelen(ek) simán beilleszthetők a számrendszerbe....

alagi 2010.09.28. 12:59:01

@meko: Persze ki lehet terjeszteni a szamhalmazt, bizonyos muveleteket is, ugy hogy kozben "ertelmes" (hasznos) dolgot kapunk, de a parossagot speciel pont nem lehet "ertelmesen" kiterjeszteni.
Ertelmetlenul persze kilehet, pl. igy: A vegtelen az paros. Kerdes hogy mit nyerek ezzel, es a veges szamokra parossaggal paratlansaggal kapcsolatos tetelek kozul melyek maradnak ervenyben.

Tom Benko 2010.09.28. 16:40:57

@meko: Igen, értelmezhető. Meg sok minden más is. De ettől még nem szám, csak számosság.

SNR 2010.09.29. 02:52:10

Szerintem egyszerűbb, ha nem tesszük fel a bijekció létezését az elején. Én a következő módon gondoltam át a helyzetet, még mielőtt elolvastam volna a posztoló magyarázatát.

6''-ben pontosan ugyanazt bújtatja, amit a rövid bizonyítás nyíltan bemutat.

A sematikus "diagonizációs tétel" analógiájára (ahol az u és a v egybeesése okozza a bibit), itt akkor van az érdekes eset, amikor Hf = G. Ekkor viszont x, ami mindig G ősképe, az most Hf ősképe. Azaz Hf ősképe egyszerre szeretne Hf-en kívül és Hf-en belül is lenni. Mivel tudjuk, hogy Hf létezik, és létező halmazokban valami vagy bent van vagy nincs, nyilván az őskép nem létezik. Azaz nincs bijekció.

Az ilyen témák még mindig jobbak, mint a parapszichósok meg a jósok, mert azok hivatkozhatnak arra, hogy de negatív energiák vannak és most azért nem megy.

Ha viszont valaki leír egy matematikai gondolatmenetet, abban minden benne van, nincs olyan, hogy "de mer azt elfelejtettem mondani, hogy csak akkor működik, ha megfelelő a Jupiter állása".
Ezért van kevés matekos áltudós, mert ez nem egy kísérleti, tapasztalati tudomány. Az ilyen jellegű "hamis bizonyításokat" pedig szokták iskolában is mutogatni, fejtörő gyanánt.

buraip 2010.09.29. 10:15:14

Kedves Szerző és kedves Kommentelők!

Geier János egyetlen tudományos dolgozatát sem jegyzi a MathSciNet (ez az Amerikai Matematikai Társaság adatbázisa, amely a világ matematikai folyóiratait "figyeli" és a bennük megjelenő cikkek adatait nyilvántartja).
Tehát Geier János nem tekinthető matematikusnak. Én mint, matematikus nem szólok hozzá sebészeti kérdésekhez, ha esetleg hozzászólnék, akkor valószínűleg a kutya sem foglalkozna vele szakmai körökben. Nem értem miért fontos, hogy Geier János mit gondol a Cantor tételről. Korábban az intézetet rendszeresen bombázta egy szolnoki fickó a Fermat-sejtés 10 oldalas "bizonyításával". Egyik kolléga vette a fáradságot, elolvasta, megmutatta hol a hiba, a szerző nem értette, úgy maradt.
A hülyeséget is lehet helyén kezelni.

meko 2010.09.29. 12:22:07

@buraip: Annak, hogy valaki matematikai kérdésekhez hozzászóljon, hálistennek nem szükséges feltétele, hogy már jegyezze a MathSciNet; ha így lenne, gondolom, trükkös volna bekerülni az adatbázisba. Nyilván az számít, hogy helyes-e a bizonyítása, vagy sem. Geier bizonyításában triviális hiba van; az elutasításnak ez az oka, nem a szakmai státusza.

De az esetünk nem ettől szkeptikusblog-téma. Hanem attól, hogy a hibát többen, számos alkalommal elmagyaráztuk a szerzőnek, de ő ennek ellenére ragaszkodik a rögeszméjéhez. Az elutasításra nyilvános botránnyal reagált, és a matematikuslobbi összeesküvését emlegette; szóval az ilyenkor szokásos körök.

h734988 2010.09.29. 13:27:59

@Russel-paradoxon. Mivel az önmagát elemként tartalmazó halmaz egyszerre lenne önmaga valódi és nemvalódi részhalmaza, így egy ilyen halmaz elfogadása magát a halmaz fogalmat tenné lehetetlenné. Vagyis a Russel-paradoxon átmegy a Cantor-paradoxonba, hiszen R a minden halmazok halmaza, s erről kérdezzük eleme-e önmagának. Mivel pedig ez egy halmazra sem lehet igaz, az iméntiek miatt, így két választásunk maradt. Az egyiket oktatják, hogy axiomatizálni kellett halmazelméletet kizárva belőle a veszélyes eseteket. A másik lehetőség a halmaz fogalom pontosítása a naiv halmazelméleten belül. Ha például „eleme” helyett a „része” fogalmat tekintjük alapfogalomnak R része lesz önmagának, mégpedig, mint önmaga. Vagyis nemvalódi része önmagának, de nem lesz valódi része, így az ellentmondás fel sem lép. Ha a része alapfogalmat használjuk, akkor a halmaz megadásnál azt is meg kell adnunk, hogy mit tekintünk az adott halmaz legegyszerűbb részeinek. Ha tetszik ennek az elem név adható, de már nem mint alapfogalom, hanem mint származtatott. Például: A természetes számok halmaza, a természetes számok részhalmazainak a halmaza, minden halmazok halmaza. Motiváció: Amikor mondjuk egy hídról beszélünk, akkor részeiről beszélünk, de elemeiről nem, arról pedig soha, hogy egy híd önmaga valódi része-e. A híd legegyszerűbb részeiben is megállapodunk, s sosem beszélünk mondjuk az atomjairól, mint elemeiről. Ha ebből vonatkoztatjuk el a halmazfogalmat, akkor a halmaz és része lesznek a természetes alapfogalmaink.
Érdekesség. Szabó Zoltán: „Antinómiát általában nem hibás premisszák elfogadása, hanem bizonyos fogalmak tisztázatlansága okoz. A követendő eljárás tehát nem bizonyos feltevések elvetése, hanem a definíciók pontosítása.” (Tertium non datur, 217. o. Osiris, 2000, Válogatta és szerkesztette: Ruzsa Imre, sorozatszerkesztő: Máté András)

@Cantor-tétel. Az, hogy az ember eljusson a Cantor-tételig több független döntést kell meghoznia, melyek egymásra épülnek, s bármelyiknél megállhat. Először is kilép a végesből vagy sem. Másodszor, hogy e kilépéshez a végtelen ideális elemet használja vagy mást. Harmadszor, hogy elfogadja-e a párosítások végtelen halmazokra való Cantor-féle kiterjesztését. Negyedszer, hogy elfogadja-e Cantor átlós módszerét. Ha ez meg van a Cantor-tétel már igaz lesz. A döntési sor folytatható. Ötödször például a kontinuum hipotézis mellett vagy ellen lehet dönteni...
Geier János azt mutatta be, hogy a negyedik döntést feleslegessé tevő bizonyítás hibás. Ha tehát valaki továbbra is állítja, hogy a negyedik döntés az első háromból már következik, akkor új bizonyítást kell bemutatnia. Ha Geier Jánosnak igaza van, akkor Cantor-tétel tagadására is felépíthető nemstandard halmazelmélet. Az pedig, hogy ZFC-ben igaz a Cantor-tétel semmi mást nem jelent, csak azt, hogy ZFC-ben az első négy döntés bele van építve. Vagyis a Cantor-tétel tagadására épülő nemstandard halmazelmélet remélhetőleg nem fogalmazható meg ZFC-n belül. Ez ugyanis ZFC bukása lenne.

meko 2010.09.29. 18:11:16

@h734988: "Mivel az önmagát elemként tartalmazó halmaz egyszerre lenne önmaga valódi és nemvalódi részhalmaza, így egy ilyen halmaz elfogadása magát a halmaz fogalmat tenné lehetetlenné." Ez nem igaz. Ld. például Peter Aczel vagy Quine halmazelméletét (en.wikipedia.org/wiki/Non-well-founded_set_theory).

"Ha Geier Jánosnak igaza van, akkor Cantor-tétel tagadására is felépíthető nemstandard halmazelmélet." Ilyen halmazelméletek Geier gondolatmenetétől függetlenül régóta léteznek; a legnevezetesebb Quine-é (en.wikipedia.org/wiki/New_foundations).

Tom Benko 2010.09.29. 19:39:12

@meko: A linkjeid hibásak, nincsenek ilyen lapok.

meko 2010.09.29. 19:46:38

@Tom Benko: Bocs, nem gondoltam volna, hogy a zárójelet is a link részének veszi a program. Szóval
- Peter Aczel halmazelmélete:
en.wikipedia.org/wiki/Non-well-founded_set_theory
- Quine halmazelmélete:
en.wikipedia.org/wiki/New_foundations
- R. Holmes kiváló áttekintése a témáról:
plato.stanford.edu/entries/settheory-alternative/

Tom Benko 2010.09.30. 19:51:45

@meko: Nem gond, én észrevettem, bár kicsit nehezen.

Amaranta 2010.10.01. 08:44:44

Matematika iránt érdeklődő laikusként elgondolkodtatónak találom ezt a vitát olvasva, hogy mivé fajult a matematika…

1. Egy hibátlanul bebizonyított matematikai tétellel szemben (diag. tétel), ami éppen azt bizonyítja be, hogy a komprehenzió elve nem minden feltétel mellett érvényes végtelen halmazok esetén, azt az önkényes kijelentést hozzák fel "ellenérvnek", hogy "márpedig a komprehenzió elve korlátlanul érvényes végtelen halmazokra (a ZFC megjelenése előtt)"?

Ez eleve csak egy feltételezés, hogy lehet a végtelen halmazokra általánosítani a komprehenzió elvét, de GJ még le is vezette matematikailag, hogy nem lehet – és a bizonyításban sem a posztoló, sem a pártját fogó kommentezők nem mutattak ki hibát. Csak annyit tudtak mondani, hogy "de mégiscsak érvényes a komprehenzió elve".

Hogyan lehet az, hogy egy matematikai bizonyítással szemben egy pusztán feltételezésen alapuló, önkényes kijelentést lehetséges ellenérvként használni?

2. Hogyan lehet az, hogy a posztoló teljesen ignorálja konkrét kérdésemet arra, hogy a Hodges cikkből tulajdonképpen mivel is állítja párhuzamba GJ levezetését? Egyáltalán, volt konkrét hasonló bizonyítás a Hodges cikkben? Vagy netán a posztoló bármilyen Cantor tétel ellenbizonyításra Hodges-sel példálózna? Ha lenne a Hodges cikkben GJ gondolatmenetéhez hasonló "darab" említve, akkor valószínűleg nem esett volna nehezére a válaszadás akár a posztolónak, akár a szerkesztőbizottság valamelyik tagjának, hiszen közülük is vannak itt, mint kommentezők.

3. Hogyan lehet az, hogy magukat mainstream matematikusnak, tudósnak tartó emberek az alapján ítélnek meg egy bizonyítást, hogy a bizonyítás szerzőjének hány másik cikke van? (buraip)

4. Hogyan lehet az, hogy már a vitaindító poszt is tele van személyeskedéssel, minősítéssel? ("hogyan juthatott tévútra a kolléga esze", "minden cáfolattal szemben rezisztens mánia" – miféle cáfolat? az a cáfolat, hogy mégiscsak érvényes az, amiről a matematikai levezetés kimutatta, hogy nem az? stb).

Hova vezet ez a fajta "matematika"?

Ez már csak költői kérdés. Nem is várok rá választ, elvégre az előző, konkrét kérdésemre sem kaptam.

További jó szórakozást kívánok.

meko 2010.10.01. 13:25:04

@Amaranta: A korlátlan komprehenzió elvét senki nem tartja érvényesnek, ebbőpl ugyanis minden további feltevés nélkül következik a Russell-paradoxon.

Az állítás az, hogy a _naiv halmazelméletben_ érvényes a korlátlan komprehenzió elve. Ez ugyanis egy ellentmondásos elmélet.

Hogy Cantor pontosan hogy vélekedett a korlátlan komprehenzióról (elmélete milyen mértékben fedte azt, amit ma naiv halmazelméletnek nevezünk), az nem egyszerűen megválaszolható, de történészek által hálistennek bőségesen tárgyalt kérdés. Az általam ismert legjobb írás a témában M. Hallett "Cantorian Set Theory and Limitation of Size" című könyve (Clarendon, Oxford, 1984, google book formában online olvasható), amelyet vitánk során Geier úr figyelmébe ajánlottam. Történeti ismeretek nélkül az axiomatizálás előtti halmazelmélet témájához nem lehet érdemben hozzászólni.

Amaranta 2010.10.01. 13:57:34

"A korlátlan komprehenzió elvét senki nem tartja érvényesnek, ebbőpl ugyanis minden további feltevés nélkül következik a Russell-paradoxon."

Nem állította senki, hogy ma érvényesnek gondolják a korlátlan komprehenzió elvét.
Én arra utaltam, hogy maga a posztoló a komprehenzióval érvel (nem a korlátlanság a lényeg), és ez az egyetlen érve:

"2"-ben Hf létezése az indirekt feltevésből (bijektív f függvény létezéséből) plusz (a naiv halmazelméletben) a komprehenzió elvéből következik; 2"-höz tehát helyesen tehetjük hozzá: „és ez a Hf létezik”."

Tehát a posztoló azt állítja, hogy Hf létezése a komprehenzió elvéből következik a naiv halmazelméletben.

GJ pedig azt bizonyította be matematikai levezetéssel, hogy a komprehenzió elve nem érvényes bijektív leképezés feltételezése mellett a naiv halmazelméletben.

Mindketten az axiomatizálás előtti időről beszélnek, csak éppen a posztoló pusztán csak kinyilatkoztatja, hogy érvényes a komprehenzió elve, GJ viszont bebizonyítja, hogy bijektív leképezés feltételezése mellett nem érvényes a komprehenzió elve.

Amaranta 2010.10.01. 13:59:41

(Az előbbi hozzászólás Meko legutóbbi hozzászólására válasz.)

meko 2010.10.01. 14:55:09

@Amaranta: "GJ pedig azt bizonyította be matematikai levezetéssel, hogy a komprehenzió elve nem érvényes bijektív leképezés feltételezése mellett a naiv halmazelméletben."

Ezt nem értem. A naiv halmazelméletben posztuláljuk a korlátlan komprehenziót. Ennyiben tehát érvényes. Másfelől, mivel az elmélet ellentmondásos, a komprehenziós sémának megfelelő bármely konkrét formula tagadását is le tudjuk vezetni. Tehát érvényes is meg nem is. Ez egy hibás elmélet, több szót kár is rá vesztegetni.

Ettől teljesen független kérdés, hogy a Cantor-bizonyítás működik-e vagy sem. Naiv halmazelméletben működik, ZFC-ben is működik, Quine halmazelméletében viszont nem működik, mert a diagonális komprehenzió nem rétegzett.

Geier úr gondolatmenetével ott kezdődnek a bajok, hogy nem teszi világossá, a halmazelmélet melyik verziójában dolgozik, tehát hogy pontosan milyen halmazelméleti előfeltevésekkel él; hanem ehelyett valamiféle homályosan körülírt "természetes matematikai gondolkodásra" hivatkozik, amelyet történeti indoklás nélkül érvényesnek tart a matematikának a modern matematikai logika standardjeinek kialakulása előtti állapotára.

Brendel Mátyás · http://ateistaklub.blog.hu/ 2010.10.02. 10:23:55

@Amaranta:

"3. Hogyan lehet az, hogy magukat mainstream matematikusnak, tudósnak tartó emberek az alapján ítélnek meg egy bizonyítást, hogy a bizonyítás szerzőjének hány másik cikke van? (buraip) "

1) Nem az alapján ítélte meg. Ő csak megjegyzett valamit ezzel kapcsolatban, ami talán túl éles. Tehát újra fogalmazom: túl sok nem szakember szeretne beleszólni a szakemberek dolgába.
Előfordulhat nagy ritkán, hogy egy nem szakember érdemit tud hozzátenni valamely szaktudományhoz, de ez ritka.

2) Tovább fűzném a gondolatot. Túl sok nem szakember szól hozzá szakkérdésekhez, és ráadásul általános minta, hogy ha lepattannak a szaktudomány szakértőiről, akkor elkezdenek kerülő úton támadni. Nem tudják publikálni cikküket egyetlen szaklapban sem, interneten támadnak.

3) Nagyon sokszor elmennek odáig, hogy összeesküdött ellenük a szaktudomány. A szaktudomány ritkán szokott összeesküdni az új felfedezések ellen. Semmelweist lehet emlegetni, de a másik oldalon ott van pl. Einstein.

4) meko és buraip álláspontja között látszólagos ellentmondás van. Akkor hogy is van ez? Úgy van, hogy aki még nem matematikus, azáltal válik azzá, hogy a cikkét peer-review-olt szakújságban leközlik.

Tehát a nem matematikus attól lesz matematikus, hogy az eredményeit a matematikusok elismerik.

Ugyanakkor a matematikusok természetesen nem szabad, hogy azon az alapon utasítsák el az illető cikkét, hogy "te még nem vagy matematikus". Ahogy itt sem ez történt.

5) Ergo egy nem matematikusnak (egyébként egy matematikusnak is) attól lesz a munkája érdemi, hogy legalább egy másik matematikust meggyőzött.

6) Ha tehát GJ bizonyítását egyetlen matematikus sem ismeri el, konkrétan egyetlen szaklap sem közli le, akkor irreleváns. Nyolcmillió példányban lehet az interneten.

Példa: Perelman a Poincare sejtés bizonyítását internetre rakta fel. MIUTÁN matematikusok ellenőrizték, és elfogadták, azután lett ez egy elfogadott bizonyítás.

Ellenpélda: nemrég Vinay Deolalikar állította, hogy bizonyította, hogy az NP teljes problémák nem polinomiálisak.

en.wikipedia.org/wiki/P_versus_NP_problem

Ezt meg végül elutasították.

7) Ha valaki igazán cseles akar lenni, akkor valami olyasmit csinál, mint Vinay, de még jobban is lehet csinálni. GJ mondjuk beküldene hasonló témákban cikkeket, amit elfogadnak, és utána ismétli meg ezt az "eredményét". Na akkor már egy elismert matematikus jönne ezzel. Az nagyobb durranás szokott lenni.

De egyrészt addigra lehet, hogy belátná, tévedett, másrészt a tudományban ilyen is van, és idővel az igazság szokott győzedelmeskedni. pl Boyai.

Amaranta 2010.10.02. 21:00:02

@Brendel Mátyás: Gondolod, hogy GJ megpróbálta máshová is beadni a cikket? A honlapján található levelezésből számomra az derült ki, hogy kifejezetten a Ruzsa konferencia szervezőbizottsága kedvéért szövegezte cikké előadását, mivel erre ők kérték fel. Ez alapján nem valószínű, hogy már megpróbálta volna bármilyen peer-reviewed folyóiratba beadni a cikkét; valószínű, hogy a Világosság volt az első, ahova beadta. Másrészt a Világosság nem peer-reviewed, ez kiderül a levelezésből: még kifejezett kérésre sem kapott GJ hivatalos indoklást. (A levelezésre itt találtam rá: geier.hu/Ruzsakonf2009/MAlevelezes.htm). Tehát azt GJ-re vonatkoztatni, hogy nem tudja publikálni cikkét egyetlen szaklapban sem, csúsztatás, mivel úgy tűnik, egyelőre nem is próbálta máshol, és a Világosság még csak nem is szaklap. A visszautasítás csupán egy maroknyi hazai halmazelméleti szakember véleményét tükrözi.
Az derül ki a levelezésből, hogy az ellenérv annyi volt M.A. részéről, hogy "a konklúzió hibás." (Pedig épp ezt kéne megindokolni... Ehhez pedig egy posztulátumot állít szembe egy levezetett matematikai tétellel, ahogy teszi ezt itt a blogbejegyzésben is, és ennél jelentősebb érve nincs... az, hogy mit posztulálunk, önkényes. A matematikai bizonyítás ezzel szemben nem önkényes, hanem logikai lépések sorozata, ellenőrizhető).

Azt, hogy GJ téved, az alapján írod, hogy hibát látsz a bizonyításában?
Ha igen, hol?
(Mellesleg: matematikus az, akinek matematikus diplomája van…).

Amaranta 2010.10.02. 21:04:54

A link elromlott a zárójel miatt, szóval helyesen:
www.geier.hu/Ruzsakonf2009/MAlevelezes.htm

Brendel Mátyás · http://ateistaklub.blog.hu/ 2010.10.03. 01:55:47

@Amaranta: "nem valószínű, hogy már megpróbálta volna bármilyen peer-reviewed folyóiratba beadni a cikkét"

ha igaznak véli az eredményét, és komoly ember, akkor meg kell próbálnia. ha meg nem, akkor felesleges a vita. addig is felesleges.

komoly tudós nem kezd el skandalumot, csak mert elutasították egy újságban egy cikkét.

a Világosság valóban nem peer reviewed, és nem is matematikai szaklap. azt közölnek le, amit a főszerkesztő le akar hozni.

megint csak nem tudom, mire fel a reklamáció. nekem várakozik egy cikkem náluk. láttál engem ugrálni?!

Amaranta 2010.10.03. 08:54:23

@Brendel Mátyás: Milyen skandumot? Nem GJ indított blogot.
Olyat sem láttam még, hogy ha egy főszerkesztő elutasít egy cikket, akkor arról személyeskedő blogot nyit.
Gyanítom a te cikkedet nem az ő felkérésükre írtad, és nem utasították el indoklás nélkül (ráadásul úgy, hogy előtte részletesen ismerték a mondandódat).
De erről tényleg felesleges vitázni, az a kívülálló, aki elolvassa ezt a blogot plusz GJ cikkét és az elutasítást "indokló" leveleket, majd levonja a dologról a tanulságot, mint ahogy tettem ezt én is.
GJ meg majd eldönti, hogy beadja-e máshová.
Ennyi.
(Arra pedig nem válaszoltál, hogy te hol látod a hibát).

mandras 2010.10.03. 09:30:13

Elnézést kérek mindenkitől, hog a poszt kikerülése óta eltelt egy hétben nem tudtam foglalkozni vele. Mentségemre szolgál, hogy nem én döntöttem el, hogy most kerüljön ki: több, mint három hete készen volt már, de (egyébként teljesen méltányos okokból) a szerkesztő nem tartotta célszerűnek korábban kitenni. Most megpróbálok válaszolni az érdemi megjegyzésekre, sorban.

mandras 2010.10.03. 09:33:27

@Tom Benko 09.07: a halmazelméletben a végetlenség halmazok tulajdonsága, de ez persze nem akadálya annak, hogy más elméletekben legyenek végtelennek nevezett objektumok (pl. projektív geóban a végtelen távoli pont, de a számegyenest is gond nélkül ki lehet egészíteni végtelen számokkal). Úgyhogy óvatosan

mandras 2010.10.03. 09:49:48

@Amaranta 09.27:
A Hodges-féle példatárra GJ cikke két dologban emlékeztet. Ebből a lényeges az, hogy (várakozásommal ellentétben) nem tesz hozzá semmit a Cantor-tétellel kapcsolatos tudásunkhoz. Kevésbé lényeges, de nyilván szépen besorolható Hodges tipológiájában az Attack on the instructions csoportjába. "Tekintsük a H_f halmazt" - mondja (GJ rekonstrukciójában) a "szokásos" bizonyítás. Nem tekinthetjük - mondja GJ -, hiszen H_f nem is létezik. Ez egyszerűen az indirekt bizonyítás módszerének félreértése. Egyebekben persze nem vitatom, hogy GJ írása sokkal magasabb szakmai színvonalon áll, mint Hodges példái - márcsak azzal is, hogy az általános Cantor-tételt veszi célba, nem pedig azt a speciális esetet, amit Hodges reménytelen szerzői (hogy a valós számok nem állíthatók [finit] sorozatba). Csak éppen az innovációs értéke pont annyi, mint ott a kevésbé ötletes cikkeké.

mandras 2010.10.03. 10:02:57

@buraip: Ez a blog kifejezetten nem szakmai vitákkal foglalkozik, hanem azt igyekszünk bírálni, amikor tudományra tartozó kérdéseket nem tudományos módon kezelnek. Geier kolléga írása ebben ráadásul határeset, hiszen matematikus végzettséggel rendelkezik, alapjában tájékozott a matematikai érvelés módszereiben - még azokkal az orvosokkal sem méltányos párhuzamba állítani, akik homeopatáskodnak, hiszen ő nem a tanult tudománya egészét dobja sutba a bombasztikus (látszat)hatásért. Ami áltudományossá teszi a tevékenységét, az a világmegváltói hevület és a cáfolat-rezisztencia.

mandras 2010.10.03. 10:53:44

@h734988: "Negyedszer, hogy elfogadja-e Cantor átlós módszerét." Az állításomat az általad választott fogalmakkal úgy lehet megfogalmazni, hogy ez nem független döntés. Már benne van abban, ha elfogadunk valami eléggé erős komprehenziós elvet - például a korlátlan komprehenziót, ami a szakirodalom egységes véleménye (beleértve az ügyben igen szerencsétlenül érintett Cantort és Fregét) szerint a naiv halmazelmélet hallgatólagos előfeltevése volt.

mandras 2010.10.03. 10:57:10

@h734988 09.29: "Negyedszer, hogy elfogadja-e Cantor átlós módszerét." Az állításom ebben a fogalmi keretben úgy fogalmazható meg, hogy ez a negyedik döntés nem független. Adódik abból, ha elég erős komprehenziós elvet fogadunk el - pl. a korlátlan komprehenziót, ami a szakirodalom teljesen egységes véleménye szerint a naiv halmazelmélet rejtett előfeltevése volt (így vélekedett még Cantor és Frege is, akiket ez a tény igen kellemetlenül érintett).

mandras 2010.10.03. 11:31:15

@Amaranta 10.01.08:44, ad 1.:
a./
Magam részéről Geier diagonalizációs tétele ellen nem hoztam fel semmilyen ellenvetést. Ha ezt a tételt kívánta volna publikálni a Világosságban, én elfogadtam volna közlésre. Trivialitás ugyan, de lesznek ott más cikkek is, amelyek nem viszik óriás léptekkel előre a tudományt. Olyan viszont nincs, amelynek az alapvető tézise hamis. GJ tézise ellenben - amelyet a tételéből vont le, bár nem következik belőle - az volt, hogy a Cantor-tétel "szokásos" (naiv) bizonyítása hibás. Ez pedig nem igaz. Én magam is többször megcáfoltam, más is, de még más alakban is el fogom itt mondani ugyanazt újra.
b./ A diagonalizációs tétel annyit tud, hogy belőle és a korlátozatlan komprehenziós elvből közvetlenül adódik a Russell-paradoxon, tehát megmutatja a komprehenziós elv ellentmondásosságát, továbbá belőle, a komprehenziós elvből (vagy valamelyik gyengített változatából) és bijektív H --> pot(H) függvény létezésének feltételezéséből szintén ellentmondás adódik - ez viszont szerintem nem a komprehenziós elv (micsodájának? - ld. c./) cáfolata, hanem a Cantor-tétel indirekt bizonyítása. Annyit fel is lehetne hozni az érdeméül, hogy a Russell-paradoxon levezetésének és a Cantor-tétel bizonyításának közös pontját emeli ki - GJ azonban nem ezt állította vele kapcsolatban, hanem azt, hogy a bizonyítás rossz.
c./ Erőteljes csúsztatás azt állítani, hogy akár én, akár meko kollégám a korlátlan komprehenziós elv "érvényességét" állítottuk. Nyilvánvalóan nem érvényes (logikai értelemben), hiszen ellentmondásra vezet (az elsőrendű logikán, vagy a legtöbb más logikai rendszeren belül, további halmazelméleti hipotézisek nem is kellenek hozzá). Amit állítottunk, az az, hogy a naiv halmazelmélet ezt az elvet elfogadta, és ez történelmi tény. A segítségével adott bizonyítások ennélfogva mind "hibásak", hiszen egy hibás elvre támaszkodnak - kérdés csupán az, hogy mely bizonyításokat lehet "megmenteni" egy korlátozottabb, jelenlegi tudásunk szerint ellentmondásra nem vezető komprehenziós elv alkalmazásával - ilyen a Cantor-tétel -, és melyeket kell elvetni (vagy szerencsére el lehet vetni, mint a Russell-paradoxon levezetését). Szofisztika viszont összekeverni ezt a hibát, a hibás alapelv alkalmazását a levezetés sorn elkövetett hibás lépésekkel - a Cantor-tétel szokásos bizonyításában ilyenről szó sincs.

mandras 2010.10.03. 11:32:34

Ismételten elnézést kérek, de csak két nap múlva folytatom.

h734988 2010.10.04. 05:51:32

@mandras: Ha jól értem a logikádat, akkor van egy elismerten önellentmondó előfeltevés nevesen a korlátlan komprehenzió elve, ami közmegegyezés alapján része a naiv halmazelméletnek.
Állítod, hogy a komprehenzió elvéből következik a Cantor-tétel.

Amit nem értek. A teljes komprehenzió elvéből nem következik-e, mint ellenmondásból Cantor-tétel tagadása is? Geier diagonális tétele nem éppen ezt a helyzetet mutatja ki? Vagyis mivel Cantor-tétel is következik belőle így az eredmény az, hogy a rendszerben ellenmondás van.Te azt hajtogatod, hogy Cantor-tétel következik a naiv halmazelméletből, Geier pedig azt, hogy nem. S valójában mindkettő következik belőle, vagyis ellentmondás következik belőle, vagy nem?
Ebben még egy dolog azért nem hagy nyugodni. Geier felállít egy három lépéses szabályt, amit egyikőtök sem támad tehát elfogadjátok? Márpedig ez esetben az ő érve az erős hiszen az adott pontnál a bizonyítás valóban nem folytatható. Pontosabban az elfogadott elv alapján nem folytatható, míg a teljes komprehenzió elve alapján folytatható. Vagyis megint odajutottunk, hogy a rendszerben ellenmondás van. Ha tetszik Geier kimutatja, hogy a három lépéses szabály és a korlátlan komprehenzió elve összeférhetetlen.
Már maga ez a történet megérhet egy cikket.

ui: Geier honlapján van egy cikk az indirekt bizonyításról. Van benne hiba?

h734988 2010.10.04. 05:53:15

Geier János által felállított három pontos szabály nem legalább olyan erős közmegegyezése a naiv halmazelméletnek, minmt a korlátlan komprehenzió?

h734988 2010.10.04. 14:51:19

S még egy felvetés. Geier János a három pontban olyan szabályokat fogalmazott meg, amiket a matematikusok maguktól betartanak, mert tapasztalatuk ezt diktálja. Ez főleg axiomatizálás előtti időkben lehetett így. Itt meg van az a veszély, hogy aki axiomatizált rendszerekben gondolkodik, a naiv halmazelméletet is átfordítja magának axiómákra, s Geier három pontja mondjuk már nem kerül bele. Szerintem a blogoló és segítői is ezt viszik. Tévedhetek, de leírom miért gondolom így. A blogoló hivatkozik a korlátlan komprehenzió elvére, mint a naiv halmazelmélet részére, de Geier három pontjára nem. Ha a naiv halmazelmélet e axiomatizált leírásában csak a korlátlan komprehenzió van benne, de Geier három pontja nincs, akkor Cantor-tétel valóban következik belőle, a tagadása viszont nem, hiszen nincs ott Geier három pontja az axiómák között, nem lehet rá hivatkozni. Magyarán nem játszik, az innen a tétel bizonyítás nem folytatható eset. MAndras azon megjegyzése, hogy jó okkal eltekinthetünk a korlátlan komprehenzió önellenmondására is ezt erősíti. Ezt úgy értem, hogy nem használjuk ki az ellentmondásosságát Cantor-tétel igazának igazolására. (Ha kihasználnánk, akkor persze következne Cantor-tétel tagadása, de valóban jó okkal eltekinthetünk tőle, hiszen Geier János sem ezt használja ki.)
Magyarán nekem úgy tűnik Geier János axiomatizálás előtti módon fogalmaz, míg az ellenvetés már a naiv halmazelméletre is axiómákat húz, lefordítja a naiv halmazelméletet axiómákra és ebben válaszol a szerzőnek. Ez a lefordítás azonban a fentiek alapján hiányosnak tűnik. A fordítás ugyanis arra a célra jó, hogy ellentmondást kapjanak belőle, s elvessék a naiv halmazelméletet, de arra már nem, hogy Geier János gondolatait helyesen kezelje. Ehhez már Geier János három pontját is bele kellene venni. Ő ebben fogalmazta meg tézisét, ebben illene rá válaszolni. Ebben viszont igaz lesz, hogy az adott ponton a bizonyítás a diagonális tétel alapján nem folytatható. A korlátlan komprehenzió alapján viszont igen, így ugyan nem Cantor-tétel indirekt bizonyítását kapjuk, de nem is a cáfolatát, hanem a rendszer ellenmondását.
S ezen a ponton mindenképpen jogos felvetés, hogy ha az axiomatizálás annyiból áll, hogy ellehetetlenítse az egyik irányt akkor az milyen értékű? Nem az alaprendszeren kellene inkább pontosítani? (Lásd korábbi Szabó Zoltántól vett idézetem.) S azután meglátjuk Cantor-tétel kiálja-e vagy sem? Erre az a válasz sem elfogadható, hogy de hát a másik utat is járják, ahol nem igaz a Cantor-tétel. Nem ugyanaz egy rendszert pontosítani, vagy egy rendszerből független döntéssel két alrendszert csinálni, de mindkettőben esetleg időzített pontatlansággal.

Tom Benko 2010.10.04. 21:56:41

@mandras: Objektumokkal igen. De komoly problémákat jelent, ha végtelen mennyiségeket számokként kezdünk kezelni. Még ha a számegyenest is egészítjük ki.

Amaranta 2010.10.05. 08:48:38

@mandras:

"A Hodges-féle példatárra GJ cikke két dologban emlékeztet. Ebből a lényeges az, hogy (várakozásommal ellentétben) nem tesz hozzá semmit a Cantor-tétellel kapcsolatos tudásunkhoz. Kevésbé lényeges, de nyilván szépen besorolható Hodges tipológiájában az Attack on the instructions csoportjába."

Eszerint igaz a sejtésem: semmi konkrét példa nincs a Hodges cikkben, amivel párhuzamba tudnád állítani GJ gondolatmenetét. Tehát a Hodges cikkre való hivatkozás a vitaindítóban csupán hangulatkeltés miatt kellett.

(Mellesleg: GJ honlapjáról kiderül, hogy részletesen ismerted a mondandóját már 2003. óta; ez ellentmond annak, hogy a "várakozásoddal ellentétben".)

"Ez egyszerűen az indirekt bizonyítás módszerének félreértése."

Konkrétan mit ért szerinted félre GJ?

"Erőteljes csúsztatás azt állítani, hogy akár én, akár meko kollégám a korlátlan komprehenziós elv "érvényességét" állítottuk. … Amit állítottunk, az az, hogy a naiv halmazelmélet ezt az elvet elfogadta, és ez történelmi tény."

Pontosan erről beszélek, olvass figyelmesen, íme néhány példa:

"Nem állította senki, hogy ma érvényesnek gondolják a korlátlan komprehenzió elvét. … Tehát a posztoló azt állítja, hogy Hf létezése a komprehenzió elvéből következik a naiv halmazelméletben." (Amaranta 2010.10.01. 13:57:34 )

"azt az önkényes kijelentést hozzák fel "ellenérvnek", hogy "márpedig a komprehenzió elve korlátlanul érvényes végtelen halmazokra (a ZFC megjelenése előtt)"?" (Amaranta 2010.10.01. 08:44:44 )

Idézet a topikindítódból: "Honnan vesszük, hogy létezik a Hf, illetve R halmaz? Onnan, hogy a naiv halmazelmélet korlátlanul és hallgatólagosan elfogadta a komprehenzió elvét."

Tehát igaz az, hogy a Hf létezésére az az érved, hogy a naiv halmazelméletben szerinted elfogadott a teljes komprehenzió elve.

Ezzel szembenáll a diag. tétel következménye, ti. hogy Hf nem létezik.

Azaz az sem igaz, hogy nem állítasz szembe semmit a diag tétellel. De amit szembeállítasz vele, az csak egy implicit feltevés, arra hogyan lehet alapozni?

h734988-cal teljesen egyetértek: Te és Meko kollégád úgy tesztek, mintha ez az implicit feltevés axiómája lett volna a naiv halmazelméletnek, holott nem volt az; csupán végiggondolatlanságból volt benne. Ha a ZF keletkezése előtt előállt volna valaki GJ gondolatmenetével, akkor lehetséges, hogy a ZF-fel totál ellentétes axiómákat fektettek volna le (ezek a (végtelen) halmazelméleti axiómák ugyanis nem a tapasztalatból adódnak, mint a matematika más területein, hanem önkényesek, és az a céljuk, hogy megmentsék a végtelennel való játék lehetőségét).

Abban is igaza van h734988-nak, hogy ha már axiómaként kezeltek egy naiv halmazelméleti implicit feltevést, akkor a többit is úgy kéne kezelni: azt a 3 alapelvet, amiket GJ explicite lefektet. Aki józan ésszel, világosan gondolkodik, alapból betartja ezeket, és az axiómatizálás előtt még jellemző volt a tiszta, világos gondolkodásmód a matematikában.

Ha tehát ezt a 3 alapelvet is elfogadjuk, akkor kiderül, hogy nem folytatható a bizonyítás. Csak akkor lesz így bizonyítható a Cantor tétel, hogyha valamiféle komprehenzióelvet (akár korlátlant, akár egy olyan szűkítettet, mint amilyet a ZF mond), önkényesen lefektetünk.

(Mellesleg: GJ tud egyáltalán erről a blogról?)

Brendel Mátyás · http://ateistaklub.blog.hu/ 2010.10.05. 10:45:21

@h734988: "Amit nem értek. A teljes komprehenzió elvéből nem következik-e, mint ellenmondásból Cantor-tétel tagadása is? Geier diagonális tétele nem éppen ezt a helyzetet mutatja ki? Vagyis mivel Cantor-tétel is következik belőle így az eredmény az, hogy a rendszerben ellenmondás van."

Az, hogy a naiv halmazelméletben ellentmondás van, nem eredmény, ezt a Russell paradoxon mutatta ki. Az, hogy ellentmondásos rendszerben bármi és annak ellenkezője is levezethető, nem eredmény, szintén közismert.

Ha GJ a Cantor tétel egy újfajta bizonyítását adta volna, akkor az egy ici-pici eredmény lett volna. Ahogy mandras kifejti, akkor le is hozták volna.

De GJ nem ezt tette, hanem hibás konkluzióra jutott.

A lényeget úgy lehet megfogalmazni, hogy az, hogy egy tételt régen egy hibás premisszát is belevéve bizonyítottak, nem jelenti azt, hogy a tétel hamis. Különösen akkor nem, ha a tételnek létezik azóta korrigált bizonyítása is.

Brendel Mátyás · http://ateistaklub.blog.hu/ 2010.10.05. 10:50:11

@Amaranta: Nem értem, mi a gondod.

1) GJ cikkét indokoltan utasították el. Hibás levezetés van benne.
2) A perpatvar nem ezzel a bloggal kezdődött.
3) Az elutasítást ebben a blogban is még egyszer megindokolták. Elég alaposan.

A blog és az eset valóban jól illusztrálja, hogy sokszor valakiben egyetlen logikai félrekapcsolás van, és azután mennyire nem képes azt belátni, és milyen hihetetlen szellemi felépítményt épít az egyszeri tévedés köré a helyett, hogy belátná azt.

Egyébként ez az SZT vezetőségére ugyanúgy jellemző.:)

Amaranta 2010.10.05. 13:46:35

@Brendel Mátyás:
"1) GJ cikkét indokoltan utasították el. Hibás levezetés van benne."

Már nem először teszem fel neked a kérdést, amire azóta sincs válaszod: hol látod a hibát? Mutass rá GJ gondolatmenetében.
Enélkül ez nem érvelés, csak kinyilatkoztatás.

"2) A perpatvar nem ezzel a bloggal kezdődött."

Nem? És ezt honnan tudod? És akkor mivel kezdődött?

"3) Az elutasítást ebben a blogban is még egyszer megindokolták. Elég alaposan."

Másod ide légy szíves, hogy ebből mit tartasz indoklásnak.

"A blog és az eset valóban jól illusztrálja, hogy sokszor valakiben egyetlen logikai félrekapcsolás van, és azután mennyire nem képes azt belátni, és milyen hihetetlen szellemi felépítményt épít az egyszeri tévedés köré a helyett, hogy belátná azt."

Hát ezzel én is egyetértek…
Teljesen elmondható az itt magukat a tudás letéteményesének tartó blogolókról és a csupáncsak kinyilatkoztatásokkal érvelő kommentezőkről…

"Egyébként ez az SZT vezetőségére ugyanúgy jellemző.:)"

Nem tudom, kik azok, nem nagyon mozgok ebben a közegben.

h734988 2010.10.05. 15:54:57

@Amaranta. Igen GJ tud a blogról, honlapján www.geier.hu legutób tegnap frissítette az anyagot, sárga háttérrel kiemelten reagál az itt elhangzottakra.

mandras 2010.10.05. 17:07:16

@Amaranta 10.01:
"Mindketten az axiomatizálás előtti időről beszélnek, csak éppen a posztoló pusztán csak kinyilatkoztatja, hogy érvényes a komprehenzió elve, GJ viszont bebizonyítja, hogy bijektív leképezés feltételezése mellett nem érvényes a komprehenzió elve."
Mindketten az axiomatizálás előtti időről beszélnek, csak éppen a posztoló pusztán csak kinyilatkoztatja, hogy érvényes a komprehenzió elve, GJ viszont bebizonyítja, hogy bijektív leképezés feltételezése mellett nem érvényes a komprehenzió elve."
Vagy a "bijektív leképezés feltételezése" (helyesen: a bijektív leképezés létezésének fletételezése) hamis.
A kinyilatkoztatásról annyit, hogy itt egy történeti kérdésről van szó, amit deduktíve nem lehet eldönteni, és a tények sem adnak százszázalékos bizonyosságot (mivel implicit elvről van szó). A legfontosabb érveket viszont felhoztam mellette én magam és meko. Ismétlés: a paradoxonok fellépésére Cantor is, Frege is úgy reagál, hogy meg kell szorítani a komprehenzió elvét (Cantor bevezeti az inkonzisztens sokaságokat, Frege csak tippeket ad, hogy milyen megszorítást lehetne alkalmazni az értékmenetek képzésére).

mandras 2010.10.05. 17:13:23

@Amaranta 10.02: " Gondolod, hogy GJ megpróbálta máshová is beadni a cikket?"
Mint azt később magad is észleled, GJ évek óta foglalkozik ezzel az ötletével - magam is találkoztam már vele korábban, de sok más helyen is előadta. Ha igaza van, akkor ez korszakalkotó felfedezés, aminek publikálására valójában méltatlanok is vagyunk. Próbálkoznia kellene mondjuk a JSL-nél, vagy elküldenie Hodgesnak - biztosan jó tanácsot kapna, hogy hol publikálhatná.

mandras 2010.10.05. 17:25:35

@Amaranta 10.03: Csak a pontosítás végett: nem főszerkesztő vagyok, hanem vendégszerkesztő, kizárólag a Ruzsa-emlékkonferenciáról közlendő írások erejéig. Ha a saját megnyilvánulásaim felhangjai túl élesre és személyesre sikerültek, azt sajnálom - de a magam részéről olyat például nem tettem, hogy magánleveleket a levelek egy része szerzőjének beleegyezése nélkül nyilvánosságra hozzak. Nem mintha bánnám, sőt, azt is jónak tartanám, ha Geier úr az ügyben másokhoz írt leveleit is kitenné a netre - sokat lehetne tanulni belőlük a nyomásgyakorlás eszközeiről. A posztot azért írtam, mert reménykedtem benne, hogy a vita így olyan helyzetbe kerül, ahol inkább az érvelés a fontos és kevésbé a nyomásgyakorlás. Sajnálom, hogy Geier úr maga nem vesz részt a vitán, hanem a honlapján reagál rá, a viszontválasz lehetősége nélkül. (A poszt megjelenése után természetesen első dolgom volt felhívni rá a figyelmét.)

mandras 2010.10.05. 18:33:43

@h734988 10.04.05:51:
"A teljes komprehenzió elvéből nem következik-e, mint ellenmondásból Cantor-tétel tagadása is? Geier diagonális tétele nem éppen ezt a helyzetet mutatja ki?"
A korlátlan komprehenzióból természetesen minden következik, mivel ellentmondás következik belőle - így a Cantor-tétel negációja is. De CSAK úgy, hogy levezetem a komprehenziós elvből az ellentmondást, a Russell-paradoxont, majd alkalmazom a (már a kijelentéslogikában érvényes) A és nem A --> B szabályt, és B helyére non(Cantor)-t írom. Ezzel szemben (Cantor) ilyen trükk nélkül is levezethető. Persze itt már valamilyen rögzített elméletet, a naiv halmazelmélet egy kellő közelítéssel adekvát formalizálását kell háttérként elképzelnünk. De Geier nem is azt állítja, hogy non(Cantor) IS levezethető, hanem azt, hogy (Cantor) SEM - nagy különbség! Betű szerint véve ez persze triviálisan hamis, a fenti trükk miatt. De nyilván érthetjük és értsük is úgy, hogy a fenti trükk nélkül nem vezethető le. Így már nem triviális, de ez is hamis.

mandras 2010.10.05. 22:27:04

@h734988 10.04.05:11:
"Geier felállít egy három lépéses szabályt, amit egyikőtök sem támad tehát elfogadjátok?"
"Geier honlapján van egy cikk az indirekt bizonyításról. Van benne hiba?"
Valóban, eddig nem mentünk bele ezeknek a szabályoknak, meg GJ indirekt bizonyítás-felfogásának taglalásába - hiba volt. Annak, ahogy az indirekt bizonyítást felfogja, az ezzel kapcsolatos második szabályának, meg a korlátozás elvének nevezett harmadik szabálynak az a közös fő hibája, hogy figyelmen kívül hagyja a Curch-(Turing-)tételt, mármint az elsőrendű logika eldönthetetlenségét. Közelebbről:
Az indirekt bizonyításban a cáfolandó állítást nem tekinti premisszának, meg olyat is állít, hogy "azonosan" hamis (felteszem: logikailag hamis) premisszákból nem lehet következtetni. Az utóbbi állításnál látszik jobban a konfliktus a Church-tétellel: mivel nincs algoritmusunk annak eldöntésére, hogy egy elsőrendű formula logikailag hamis- (kielégíthetetlen-)e, nem tudhatjuk minden esetben és eleve, hogy nem logikailag hamissal van-e dolgunk. De ugyanez a baj az általánosabb esetben. A tudományokban, még a matematikában sem tudhatjuk általában előre, hogy a premisszáink igazak-e. A logika levezetési szabályainak működése pedig független attól, hogy milyen igazságértékűek a premisszák. Ha egy lépésben tudottan hamis konklúzióhoz jutunk (pl. ellentmondáshoz), akkor kell elvetni valamelyik premisszát.
Valójában ugyanez a baj a korlátozási szabállyal is. A Church-tétel miatt elvileg lehetetlen minden esetben tudni, van-e valamilyen "korlátozás".
A kisebb probléma a korlátozási szabállyal az, hogy a példa, és a GJ cikkében szereplő alkalmazás is hibás. Ha NEM tudjuk, hogy a=b+c, (a-b-c)-vel akkor is annak a plusz hipotézisnek a felvételével szabad osztani, hogy nem =0; illetve külön kell vizsgálni azt az esetet, amikor 0, és azt, amikor nem. Az alkalmazás, az egész szemantikai értékrés-sztori behozása a matematikába meg azért alapvető félreértés, mert individuális terminust a matematikában mindig csak azután szabad bevezetni, hogy bizonyítottuk, hogy van egy és csak egy dolog, amit jelöl. (Egzisztencia- és unicitástétel; ilyennel mindenkinek találkoznia kellett, aki tanult felsőfokon matematikát.) A matematikában tehát nincs értékrés; az a köznyelv problémája. A Cantor-tétel bizonyítása során pedig a H_f terminust ténylegesen azon az alapon vezetjük be, hogy tudjuk, hogy létezik - a feltevésből következően. Ha máshonnan azt tudjuk, hogy nem létezik, akkor a feltevés volt hamis. A bizonyítás pedig elmondható még úgy is, hogy egy szál in-terminus nem szerepel benne - ez még egy ok arra, hogy az értékrés-ötlet irreleváns. Ezt is mutattam már Geiernek; nem hatotta meg, sőt felismerni vélte benne ugyanazt a problémát (máig sem értem, hogyan). Ahogy a honlapján látom, változott az álláspontja: most már azt sem vitatja tkp., hogy a naiv halmazelméletben lehet bizonyítást adni a Cantor-tételre, csak azt állítja, hogy a "szokásos" bizonyítás rossz. ("Mi lesz ebből, idesapám? Fogpiszkáló, ha megint el nem b...om.) Ezzel kapcsolatban lehetne azon problémázni, hogy mi is az a "szokásos" bizonyítás, és hol olvasható, de ez igazából mindegy. Az összes változatban ugyanaz az egy picurka gndolat van, ezért ez ugyanaz a bizonyítás. A választás a különböző megfogalmazások között ízlás dolga.

mandras 2010.10.05. 22:30:03

Folytatás holnapután

nénikéd 2010.10.06. 01:27:09

Mennyi, mennyi baromi türelmes ember! Honnan van ennyi időtök? Akkor inkább mégis matematikus akarok lenni.

nénikéd 2010.10.06. 02:05:56

Hűű, azt terveztem írni még a fürdőszoba előtt, hogy nekem félig nem volt türelmem elolvasni, de nem bírtam ki. Szóval a hiba (szerintem) közérthetően:

Az idézett klasszikus bizonyítás azt mutatja meg, hogy nem létezik az adott tulajdonságú bijekció; egész konkrétan, hogy nem létezik T bijektív B-re, aminek a szokásos axiómarendszerekben léteznie kéne. És vajon mit mutat meg a cikkszező? Voilá: nem létezik T bijektív B-re.

Hogy melyik a jobb bizonyítás erre, talán ízlés kérdése, ha egyáltalán értelmes kérdés.

Még másképp: hiba a (iii) használatában van, hiszen azzal nem volna lehetséges egyetlen indirekt bizonyítás sem, hiszen az indirekt feltevés után nem volna folytatható az érvelés. Ami bizonyos értelemben igaz is, csak épp azt mutatja meg az érvelés, hogy miért nem.

De ugyanez még másképp: GJ rendszerében Tétel_2 bizonyítása hibás, hisz nem folytatható az (1') feltevéstől, hiszen nincs ilyen B.

Személyeskedés megkérdezni, hogy GJ-nek tényleg van-e matekmatikus diplomája?

nénikéd 2010.10.06. 02:45:44

Nem bírom ki: le kell írnom még háromféleképp ditto ugyanazt.

Tétel_2 bizonyítása Diagonalizációs tétel nélkül: tfh létezik T, ekkor létezik t (3)-ban, ami ellentmondás (4) szerint.

(Jó, kicsit túlzás volt, hogy egész konkrétan ez volna a vázolt klasszikus bizonyítás, de így lehet ezt kipécézni belőle.)

Ja, és figyelem! szerzői jogi problémák: én írom le elsőnek Tétel_2 átfogalmazását: legyen B injektív, létezzék T a "szokásos" tulajdonsággal definiálva, ekkor B nem szürjektív. Tuti, ebbe is bele lehet kötni (iii)-mal, ha nagyon akar az ember.

Amaranta 2010.10.06. 11:41:52

@mandras:

Itt egy pár dolog nem világos nekem:

1. "de a magam részéről olyat például nem tettem, hogy magánleveleket a levelek egy része szerzőjének beleegyezése nélkül nyilvánosságra hozzak."

Magánlevelek? Hivatalosnak tűntek. De ha ez nem hivatalos, akkor van eszerint egy hivatalos indoklás, amit nem tett ki?

2. "azt is jónak tartanám, ha Geier úr az ügyben másokhoz írt leveleit is kitenné a netre - sokat lehetne tanulni belőlük a nyomásgyakorlás eszközeiről."

Most már ezt szeretném tisztán látni, ez így most már kezd zavarosnak tűnni.

Mások is voltak? Hányan?

Milyen módszerekkel gyakorolt nyomást Geier?

A honlapon lévő levelekből nem derül ki nyomásgyakorlás. Mi az akkor, amit szerinted Geier elhallgat?

3. "GJ évek óta foglalkozik ezzel az ötletével - magam is találkoztam már vele korábban, de sok más helyen is előadta.".

Eddig azt mondtad, hogy nem ismerted a gondolatmenetét, amikor elfogadtátok a konferenciára. ("Az absztraktból csak annyi derült ki,…", "várakozásommal ellentétben….").

Itt meg azt mondod, már ismerted.

Akkor ez most hogy van?! Akkor hogyhogy elfogadtátok a konferenciára, és hogyhogy őt is felkértétek, hogy írja meg belőle a cikket?

4. "Ahogy a honlapján látom, változott az álláspontja: most már azt sem vitatja tkp., hogy a naiv halmazelméletben lehet bizonyítást adni a Cantor-tételre, csak azt állítja, hogy a "szokásos" bizonyítás rossz."

Nem változott az álláspontja, a cikkben is egyértelműen az áll, hogy a közismert tankönyvi levezetése hibás a Cantor tételnek, és nem pedig az, hogy a Cantor tétel hamis (ellentétben a blogbejegyzés címével is, ami szintén eleve félrevezető).

Idézetek a cikkből:

"A továbbiakban azt fogom kimutatni, hogy a Cantor hatványhalmaz tétel közismert tankönyvi levezetéseinek gondolatmenete megsérti a (iii) szabályt."

"Következmény A ’Cantor levezetés’ a (*) ponton túl nem folytatható. A tankönyvek folytatják, így megsértik a (iii) korlátozási szabályt."

Ha azt állítod, hogy olyat mondott GJ, hogy a Cantor tétel hamis, vagy hogy nem vezethető le másképpen sem, akkor idézd légyszi.

Mellesleg, a cikkben az is benne van, hogy ha önkényes formális segédleteket alkalmazunk (azaz axiómának vesszük egy bizonyított tétel ellenkezőjét - ahogy teszitek ezt újabban a komprehenzió elvével a naiv halmazelméletre), akkor úgy már lehet azt mondani, hogy ellentmondás van… persze, mert kreáltunk egyet egy nem a tapasztalatból adódó, hanem önkényes axiómával.

De megtaláltam az egyik neked írt levélben is:

"Helyette persze lehet egy másik bizonyítást csinálni, ami azon alapul, hogy szembe állítjuk a bizonyított Tétel 2 -t egy axiómával a ZFC ben, - illetve a legutóbbi elemzésed szerint - a naív halmazelméletben egy vélekedéssel, idézem tőled: "A T halmaz létezése tehát a korábbi halmazelmélet (implicit) előfeltevéseiből is következett." (Ezt én is így gondoltam ..."

Tehát az megint csak csúsztatás, hogy megváltoztatta az álláspontját…….

nénikéd 2010.10.06. 12:30:19

Milyen jó néha aludni egyet, meggondoltam magam: ha (iii) szerint a két bizonyításból (ti.: Tétel_2 és Cantor klasszikus) az egyikben inkább van szemantikai hiba, akkor az a Tétel_2-é (azaz ez a "rosszabb"), ugyanis explicite azt szándékszik bizonyítani, hogy T nem létezik, mégis leírja, hogy D(T) = h. Ha T nem létezik, akkor D(T) nem hamis, hanem nincs értelme, ez épp a cikkszerző vesszőparipája. Persze a bizonyítás pontosan a kifogásolt érvelés: tfh létezik T, akkor D(T)=h, azaz T nem létezik, ami ellentmondás, azaz az eredeti feltevés, hogy T létezik hamis.

nénikéd 2010.10.06. 13:14:11

@Amaranta:
4. Ezt hogyan kell érteni a végkövetkeztetésben?

www.geier.hu/Cantor/Cantor_rovid.htm

Ahogyan azt sem lehet bebizonyítani, hogy (-1)*(-1) = (+1), ugyanúgy ezt sem lehet bizonyítani, hogy a valós számok halmaza nagyobb a természetes számok halmazánál. Mindkét állítás megállapodás kérdése, bizonyos célok érdekében.

Vagy akkor mégis változott a véleménye 2008. novembere óta?

Btw, mit jelent -1? Azt az x számot amire x+1=0? Akkor 1 = 1+0 = 1+x*x+(-x*x) = 1+(x+0)*x+(-x*x) = 1+0*x+x*x+(-x*x) = 1+0*x = 1+(x+1)*x = x*x + (1+x) = x*x.
És semmi mást nem használtunk, mint a 0, 1 és - jel fenti definicióját, valamint a szokásos kommutativitás, és disztriubtuivitást. Ezek nélkül viszont nem világos, mit jelent a +1, -1, és * a fenti állításban.

mandras 2010.10.06. 13:35:48

@Amaranta 10.06.11:41:
Ez a hozzászólás nagyon kényelmes alkalom számomra, hogy berekesszem a vitát. Az első három pont etikai kérdéseket érint. Mindegyikre megvan a válaszom, de egyrészt ez a fórum nem ilyesmikről szól, hanem az igazságról, másrészt pedig miután az én IRL azonosságom itt egy percig nem volt titok, ilyesmiről nyilvánvalóan nem vitatkozom egy arctalan nickkel. A negyedikhez pedig: akinek a komprehenzió elve önkényesen választott segédlet, az a. nem rendelkezik a szükséges történeti ismeretek minimumával sem; b. semmibe veszi az itt előhozott bizonyítékokat; c. nyilván nem érti a mai halmazelméletet sem. Ergo: a vita feltételei nem állnak fenn.
Ez a vita azért egyáltalán nem volt számomra haszontalan: a más véleményen levők közül h734988 kérdései fontos dolgok átgondolását tették szükségessé.

Amaranta 2010.10.06. 15:42:59

@mandras:
Az első 3 pontot te magad vetetted fel utalás szintjén, én pedig csak visszakérdeztem a tényekre, hogy tisztázzuk. De eszerint akkor ez mind blöff volt, csak úgy, mint a Hodges hivatkozás.
Így valóban nem állnak fenn a vita feltételei...

A @nénikéd nevű kommentelőnek pedig annyi a válaszom, hogy itt a 2009-es cikkről van szó, és nem a 2008-as vázlatról.

üdv

h734988 2010.10.07. 05:09:50

@mandras Hibáztatja GJ korlátozási szabály példáját, mondván a-b-c-vel osztást kér részre kell osztani, lesz egy ág melyben 0 s egy amelyben nem 0. Az ellenvetés hibás. Arról szól, hogy ha még nem tudjuk hogy 0. GJ arról szól, hogy már tudjuk, hogy 0, ha tetszik az első ágról. Ezen az ágon meg mindenki betartja a 0-val való osztás tilalmának korlátozási szabályát.

@mandrás Hivatkozott a Church-Turing-tézisre, az elsőrendű logika eldönthetetlenségére. Ez a tézis alapvetően épít a Cantor-tétel fő motívumára. Így felvetődik, hogy ez a hivatkozás a (ii) sorrendiségi szabály megszegése. Ha jól sejtem azonban ez inkább a vita fő okára mutat rá. Az axiomatikus gondolkodás nem csak egy javítása a matematikának, hanem gyökeresen ellentétes szemléte a matematikának, egészen más matematikafilozófia áll mögötte. (mellékesen akik GJ matek diplomáját kétségbe vonják – ezt mandras nem tette, csak itt érdemes kitérnem rá! – biztos hogy túl sokat hallottak matematika filozófiákról. GJ egyszerűsítve gyakorlati/alkalmazott matematikusként szól. Ha tetszik A Természetes Matematikai Gondolkodásmód helyett mondhatná azt, hogy Természetes Alkalmazott Matematikai Gondolkodás mód, s így már jobban érhető lehet, hogy ezt minden alkalmazott matematikát vivő betart. Azt, hogy az elméleti matematikusok néha miket gondolnak erről egy-egy mondatban fel-fel tűnik ismertető matematikafilozófiai munkákban.) GJ gyakorlati vonalat visz, ezzel szemben mandras egy elméleti vonalat állít. Az elméleti vonalban az axiómákból következik mind Church-Turing tézis, mind Cantor-tétel. Viszont nincsenek benne a korlátozási szabályok, sőt éppen elvetésre kerülnek, pontosan az eldönthetetlenség következtében, ami meg az axiómákból levezetett eredmények következménye. GJ azonban nem ebben fogalmazta meg cikkét, így ezt ellene állítani, olyan mintha Eukleidész geometriájában Bolyai geometriája nyelvén beszélnénk s csodálkoznánk, hogy ellentmondásra jutunk. GJ érvelésében a saját rendszerén belül kellene ellentmondást kimutatni. Ehhez minden esetre meg kellene fogalmazni a két felfogás matematikafilozófiai különbségét. Erre nem vállalkoznék. Ám ez sokat segítene a vita helyes mederbe terelésére. Gyanítom, hogy a személyeskedés fő oka, hogy nincs tisztázva ez az alap, vagy ha tetszik nincs figyelembe véve.

h734988 2010.10.09. 07:21:21

A formális rendszerek korlátairól szóló paródia:
Adott egy irányított gráf A B csúcsokkal. Axióma1: Irányított él: BA. Posztulátum1: AB irányított él.
Állítás: Létezik BAB irányított kör.
Ez a Természetes Matematikai gondolkodásmódban (TMG) hamis. Nincs AB irányított él, így az irányított kör egy szakasza hiányzik. Ez pedig korlátja (iii. szabály), hogy létezzen az irányított BAB kör.
A formális megközelítésben ez Tétel. BA irányított élen eljutunk B-ből A-ba. Innen Posztulátum1 szerint megy irányított él B-be, mely élen át a kör bezárul. Q.E.D.
Formálisan ellentmondás nem mutatható ki. Ok: korlátozási szabály nincs beépítve. Nevesen, hiányzik például, hogy Axióma2: nem létező irányított élet nem posztulálhatunk.

Amaranta 2010.10.18. 18:51:49

Egy 172 MathSciNet publikációval rendelkező matematikus véleménye a témában (Doron Zeilberger a Rutgers egyetem professzora):

www.math.rutgers.edu/~zeilberg/Opinion68.html

Amaranta 2010.10.18. 18:54:51

Egy 172 MathSciNet publikációval rendelkező matematikus véleménye a témában (Doron Zeilberger a Rutgers egyetem professzora)

www.math.rutgers.edu/~zeilberg/Opinion68.html

KenSentMe 2010.11.19. 05:13:55

@Amaranta:
"1. Egy hibátlanul bebizonyított matematikai tétellel szemben (diag. tétel), ami éppen azt bizonyítja be, hogy a komprehenzió elve nem minden feltétel mellett érvényes végtelen halmazok esetén, azt az önkényes kijelentést hozzák fel "ellenérvnek", hogy "márpedig a komprehenzió elve korlátlanul érvényes végtelen halmazokra (a ZFC megjelenése előtt)? "

Ne felejtsd el, hogy a Russel paradoxon pontosan azt teszi, amit írtál. "éppen azt bizonyítja be, hogy a komprehenzió elve nem minden feltétel mellett érvényes végtelen halmazok esetén" Betű szerint ezt csinálja. Igen, Russel bemutatja, hogy definiálható egy olyan halmaz, amit nem lehet "kompehenzálni", az önmagukat nem tartalmazó halmazok halmaza nem létezhet. Miért baj ez? Az axiomatizálás miatt. Van egy axiómarendszer, ami egyfajta szabálykönyv: leírja, milyen formában és szabályok betartásával hozhatunk létre az adott rendszer keretei közé tartzó matematikai objektumokat. Egy jó axiómarendszernek illik garantálnia, hogy ha létrehoztunk egy a szabályainak megfelelő objetkumot egyszer, akkor ellentmondások nélkül épüljön be a már létező objektumok közé (ez a konzisztencia konyhanyelven elmesélve.. egy jó matematikai rendszer konzisztens).

Na most ha én fogom a naiv halmazelmélet jelöléseit és axiómarendszerét, és leírom, hogy.. R = {S | S nem eleme S-nek}, akkor ezzel én létrehoztam az R objektumot. Utána pedig fel tudok írni az axiomarendszerben egy tételt (és itt mindegy, hogy a diagonális tételt használom, vagy Russelt), ami bizonyítja, hogy ez az objektum mégsem létezik. Tehát tartalmaz az axiómarendszer egy olyan objektumot (hiszen mindent tartalmaz, ami felírható benne), amit mégse tartalmaz. Ez inkonzisztencia. Ettől még persze megtarthatnánk az inkonzisztens naiv halmazelméletünket, de aztán eszünkbe jut (és valószínűleg Frege-nek is eszébe jutott), hogy egy inkonzisztens rendszerben bármelyik állítás bebizonyítható. Például be lehetne bizonyítani, hogy 5=3-al, és a bizonyítás minden formális követelményt kielégítene. Egy ilyen halmazelmélet nem sok mindenre volna használható.

Hogy ezt elkerüljük, kell elkezdeni szopni az axiómákkal, hogy egy olyan axióma-szabálykönyvünk legyen, amivel még véletlenül sem írható fel egy olyan objektum, ami valójában nem létezik. El kell felejtenünk a komprehenziót.

Ha viszont a komprehenzió nem igaz, akkor a Cantor tétel bizonyításának 1 és 2 lépése közül megalapozatlan, és a H_f halmaz nem hozható minden esetben létre.

Így tehát GJ-nek elég lett volna egyetlen diát csinálnia az előadására:
"A komprehenzió elve hülyeség, emiatt a Cantor tétel bizonyításának 1. és 2. lépése megalapozatlan (mi bizonyítja, hogy lehet ilyen függvényt és halmazt létrehozni?), a tétel megcáfolva, én nyertem."

Gondolom, eddig már a matematikusok is eljutottak, sőt, igazából úgy gondolom, hogy ennél sokkal többet el tudnak mondani a Cantor-tételről, meg arról, hogy milyen axiomarendszerekben érvényes, és milyenekben nem. (Igen, neki kell állni dolgozni a Cantor tétellel, és tökölni az első két lépésen, hogy vajon az ott szereplő halmazok egy adott axiomarendszerben megengedettek-e.. ezért lehet sajnálni a matematikusokat)

Emiatt utalt a szerző, hogy a Cantor-tétel olyasféle cáfolata, aminek a lényege ez az egy dia, finoman szólva is nem különösebben termékeny.

dvhr 2012.10.06. 13:36:31

Kivancsi vagyok, G. elfogadja-e gyokketto irracionalitasanak bizonyitasat.