avagy matematikai eszközök tárháza

Richard Dawkins „Isteni téveszme” című könyvének bemutatóján egy hozzászóló jelentette ki azt az állítást - amelyet igen sok fórumon lehet hallani, és már-már egyfajta urban-legend státusát éri el - hogy a Gödel-tétel alapján a világ bizonyíthatóan megismerhetetlen.

Meg kell jegyeznem, hogy Dawkins könyvében erről szó sincs, a könyvismertetést csak apropóként használom fel, és annak illusztrálására, hogy a mítosz (mém) elterjedt. Annál is inkább kell ezt így illusztrálni, mert sem komoly matematikus, sem filozófus nem állított ilyet tudtommal. Kevésbé komoly kiadványokban lehet ilyen állítást találni.

Nos, járjuk körül a kérdést, és megpróbálom minél kevesebb filozófiai és matematikai szakzsargonnal leírni!

Először is, az a bizonyos Gödel-tétel, amelyről itt szó van (mert van több is) azt mondja ki, hogy minden olyan axiómarendszerben, amely ellentmondásmentes, és legalább a Peano-féle axiómarendszerrel (a természetes számok axiómarendszere) azonos erősségű, van legalább egy olyan kérdés, amely megfogalmazható a rendszerben, de nem lehet véges lépésben bizonyítani.

Ez a matematikában a bizonyításelméletnek egy tétele. Ezáltal valóban megbukott valami, de csak a matematikában, nevezetesen a Hilbert-program. Rudolf Carnap úgy fogalmazta meg a Gödel-tétel következményét, hogy:

„Más szavakkal, minden matematikai formalizálható, de a matematika nem meríthető ki egy rendszerrel, egyre gazdagabb nyelvek végtelen sorozatát igényli.” (Logical Syntax of Language)

A következőkben geometriai példákat fogok hozni, ami szigorúan véve nem megfelelő, hiszen a Gödel-tétel nem vonatkozik a geometiai axiómákra, de ott is van eldönthetetlen állítás, és illusztrációnak sokkal jobbak, mint például a kontinuum-hipotézis.

Sokkal többen ismerik ugyanis az euklideszi és Bolyai-geometria esetét. Ha vesszük az euklideszi geometriát, és kivesszük belőle a párhuzamosok axiómáját, akkor azt abszolút geometriának nevezik. Ez tehát egyfajta "közös nevező". Ebből az abszolút geometriából a párhuzamosok axiómája nem bizonyítható.

Ez nem olyan meglepő, mert hiszen pont ezért vette fel Euklidesz axiómának, de Bolyai kora előtt volt egy olyan sejtés, hogy talán bizonyítható (Bolyai Farkas erre áldozta életét), de Bolyai János jutott el oda, hogy nem bizonyítható, sőt, az ellenkezője is feltehető. Ha ezt tesszük, azaz a párhuzamossági axióma Bolyai-féle változatát csatoljuk az abszolút geometriához, az a Bolyai-geometria. Egy másik verzió a hiperbolikus geometria, és a Riemann-geometria, amelyeknél a párhuzamossok axiómája más és más.

Igen ám, de mindez csak a matematikára vonatkozik. És a matematika az nem a világ megismerése, nem empirikus tudomány, nem a világról szól (még a matematikai geometria is csak absztrakt pontokról, egyenesekről szól). A valós tér a maga fénysugaraival az a matematikától függetlenül lehet euklideszi, Bolyai-féle, hiperbolikus vagy Riemann-féle. Ezt nem a matematika dönti el, hanem az empíria.

A fizikus ugyan használja a matematikát, de aztán kiépít egy fizikai elméletet, és ez az, ami a valóság megismerésére szolgál. Newton például vette az euklideszi geometriát, és alkotott vele egy fizikát. Aztán Einstein vette a Riemann-geometriát, és megalkotta az általános relativitás-elméletet. Ez utóbbi szerint a téridő görbült. És a kísérletek aztán ezt az elméletet igazolták. Einstein ezzel nem cáfolta az euklideszi geometriát, de cáfolta a newtoni mechanikát.

(Szakértőknek: mindegyik geometriában van a másik geometriának modellje, tehát egyik sem "igazabb" a másiknál.)

Tehát ha a világ megismerését, a fizikát, és más tapasztalati tudományokat nézzük, akkor azoknak a matematika nyíltsága, a sokféle axiómarendszer nemhogy akadály, hanem eszközök sokféleségét jelenti. A világ megismerésénél egyáltalán nem baj, ha többféle geometria áll rendelkezésre, mert bármelyik használható lehet. És ha arról van szó, hogy a fizikai tér fénysugarakkal definiált „egyenesei” vajon találkoznak-e, vagy sem, akkor ezt meg lehet mérni. Tesztelni lehet, hogy az euklideszi vagy a bolyai-, vagy a hiperbolikus- vagy a Riemann-geometria az, amit alkalmazni lehet az adott fizikai elméletben.

(A hozzáértőbb, filozofikus olvasóknak megjegyzem, hogy Poincaré még azt is kimutatta, hogy akármilyen is a fizikai tér, bármelyik geometria használható a megfelelő fizikai elmélettel kiegészítve. A Riemann-geometria a relativitás-elméletben csupán egy jobban kezelhető elméletet ad.)

Összefoglalva: a matematikai axiómarendszerekben eldönthetetlen kérdések nem akadályozzák a valóság megismerését, mert ezek nem empirikus kérdések. Amint empirikus kérdésekről van szó, ott - ha valami elméletileg esetleg nem is vezethető le - akkor empirikusan még mindig megvizsgálható. Például megmérhetjük azokat a fénysugarakat. A Gödel-tételből adódó sok matematikai axiómarendszer pedig nem hozza zavarba a képzett fizikust, hiszen nem akadályt jelentenek, hanem sok eszközt. Egy fizikus nincs elkötelezve egyetlen matematikai elmélet mellett sem, hanem szabadon válogat közöttük. Nem is kell "kimerítenie" a matematikát, hanem elég neki egy-két eszközt kikapni belőle.

Egy hasonlattal élve, olyan ez, mintha azt kérdeznénk, hogy a mérnököt akadályozza-e munkájában az, hogy a mérnöki eszközök száma nem véges, hanem mindig vannak újabb és újabb műszerek.